ECUACIONES LINEALES Y PROBLEMAS

Ecuacion Cuadrática

La ecuación cuadrática o también conocida como la ecuación de segundo grado es aquella ecuación que obedece a un polinomio de segundo grado de la forma ax² + bx + c igual a cero.

Donde el coeficiente "a" es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0 se obtiene unaecuación lineal o de primer orden)

Método de solución de la ecuación cuadrática

Lo primero es dividir la ecuación completa por el primer término ¨a¨

Se procede a completar un trinomio cuadrado perfecto con la expresión 

Para lo cual se suma y resta 

, que puede escribirse como

Ahora simplemente se resuelve esta ecuación aprovechando que el término  puede despejarse

El valor de x es lo que se conoce como fórmula general de la ecuación de segundo grado

El teorema fundamental del álgebra garantiza que un polinomio de grado dos tiene dos soluciones que son precisamente las que se generan con el signo ¨+¨ y ¨-¨ de la x que se obtuvo De esta manera se tiene

Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes entre sí

Si  las dos raíces son reales e iguales 

Si  las dos raíces son complejas conjugadas

Ejemplos numéricos

Primer ejemplo, 2x² – x – 1 = 0

Primero se identifican los coeficientes a = 2, b = -1 y c = -1

Luego se procede a reemplazarlos en la fórmula

Ambas soluciones son reales y diferentes entre sí. Note que  , en este ejemplo en particular 

Segundo ejemplo, 9x² – 6x + 1 = 0 

Se identifican los coeficientes a = 9, b = -6 y c = 1

Se reemplazan los coeficientes en la fórmula

Ambas soluciones son reales y e iguales entre sí. Note que 

Tercer ejemplo, x² + x + 1 = 0

Se identifican los coeficientes a = 1, b = 1 y c = 1

Se reemplazan los coeficientes en la fórmula

Ambas soluciones son complejas conjugadas. Note que  , para esta ecuación se obtuvo 

Propiedades básicas de las soluciones de la ecuación
cuadrática

Demostración

Demostración

Problemas que conducen a ecuaciones cuadráticas

Ejemplo 1 

Un Avión realiza un vuelo de 1200 millas. Si aumenta su velocidad en 80 millas por hora el recorrido puede hacerse en media hora menos. Cuál es su velocidad de vuelo?
Sea V la velocidad a encontrar
Asumiendo una velocidad constante el tiempo para volar las 1200 millas es  recuerde que tiempo

es igual a espacio/velocidad

Si recorre la misma distancia pero 80 millas por hora más el tiempo será 

Si restamos los tiempos tenemos que la diferencia es media hora 

Operemos

Lo cual es lógico ya que el Avión avanza hacia su destino (la velocidad no puede ser negativa ni 0)

La velocidad del Avión es 400 millas por hora (No se toma en cuenta la respuesta negativa ya que carece de sentido como solución)

Ejemplo 2

Un terreno rectangular tiene 12 metros cuadrados de área y su perímetro es de 14 metros. Cuáles son las dimensiones del terreno?

Sea "x" el ancho y sea "y" el largo del terreno.

Tenemos que el área es el producto del largo por el ancho por tanto se tiene

El perímetro es la suma de los lados del rectángulo luego

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

Despejamos x de (2) para reemplazarlo en (1)

Luego

Se multiplica por -1 a ambos lados de la ecuación

Si reemplazamos en x ambas soluciones tenemos que x puede ser 7 – 4 que es 3 o también 7 – 3 que es 4 por tanto no importa el orden las dimensiones siempre serán 3 y 4 metros (esto sucede porque el ancho y largo son nombres subjetivos y dependen de cómo se vea el rectángulo)

SOLUCION DE ECUACIONES

Sistemas de Ecuaciones - Ejercicios Resueltos - Método Sustitución

Método de Sustitución

Consiste en despejar en una de las ecuaciones una incógnita. Se sustituye su valor en la otra ecuación quedando una ecuación de primer grado con una incógnita, se resuelve la ecuación y se obtiene el valor de una de las incógnitas. Finalmente se vuelve a la ecuación despajada para hallar el valor de la incógnita que queda. 

Algunos vídeos que explican el método:

Ejercicio de Aplicación:

Juan tiene su hermanito menor y su papá les da 55 soles de propina para que se repartan en proporción a su edad. Si el cociente de las cantidades que les toca es 4 soles ¿Cuánto le toca al hermanito menor?

A) 5 soles

B) 12 soles

C) 25 soles

D) 20 soles

E) 11 soles

Un fajo de 31 billetes, equivale a la suma de 570 dólares, entre billetes de 20 y 10 dólares ¿Cuántos  billetes de 20 dólares hay?

FUNCION LOGARITMICA

FUNCIONES LOGARITMICAS

Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas.  Como la notación f^-1  se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo deinversas.  Si f(x) = b^x, en lugar de usar la notación f^-1(x), se escribe log_b (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación log_b(x) como el  “logaritmo de x con base b”, y llamamos a laexpresión log_b(x) un logaritmo. 

Definición:  El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base  b  para obtener  a  y.   Esto es,  si  b > 0  y   b  es  diferente  de  cero,   entonces

log_b y = x  si y sólo si  y = b^x.

Nota:  La notación log_b y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.

Ejemplos:

1)  ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25?  Al exponente 2, ya que 5² = 25.  Decimos que “el logaritmo  de 25 en la base 5 es 2”.   Simbólicamente lo expresamos de la forma log₅25 = 2.   De  manera que,  log₅ 25 = 2  es  equivalente a  5² = 25.  (Observa que un logaritmo es un exponente.)

2)  También podemos decir que 2³ = 8 es equivalente a log₂ 8 = 3.

Nota:  El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales.   De manera que, log₁₀ 3  está definido, pero el log₁₀ 0  y  log₁₀ (-5) no lo están.  Esto es, 3 es un valor del dominio logarítmico, pero 0 y -5 no lo son. 

Ejemplo para discusión:  Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial:

Ejercicio de práctica: Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial:

Ejemplo para discusión:  Expresa de la forma exponencial a la forma logarítmica:

Ejercicio de práctica: Expresa de la forma exponencial a la forma logarítmica:

Solución de ecuaciones logarítmicas simples

Ejemplos para discusión:

1)  Halla el valor de x si log₃ 9 = x.

2)  Halla el valor de b si log_b 8 = 3.

3)  Halla el valor de y si log₂ y = 7.

Ejercicio de práctica: 

1)  Halla el valor de y si log₃ 27 = y.

2)  Halla el valor de b si log_b 100 = 2.

3)  Halla el valor de x si log₂ x = -3.

Propiedades de las funciones logarítimicas:  Si b, M y N son números reales positivos, b es diferente de uno, y  p  y  x  son números reales, entonces:

1)  log_b 1 = 0

2)  log_b b = 1

3)  log_b b^x = x

4)  log_b MN = log_b M + log_b N

6)  log_b M^p = p log_b M

7)  log_b M = log_b N  si y sólo si  M = N

Ejemplo para discusión:  Usa las propiedades para simplificar:

1)  log₅ 1 =

2)  log₁₀ 10 =

3)  log₁₀ 0.01 =

Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para simplificar:

1)  log₁₀ 1 =

2)  log₅ 25 =

3)  log₁₀ 10 ^-5 =

Ejemplo para discusión:  Usa las propiedades para expandir cada expresión:

1)  log_b 5x =

2)  log_b x⁹ =

Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para expandir cada expresión:

 

Ejemplo para discusión:  Usa las propiedades para escribir cada expresión como un solo logaritmo:

1)  log₃ (x) + log ₃ (6) =

2)  log₃ (24) - log₃ (4) =

3)  log₁₀ (x - 1) + log₁₀ (3) - 3 log₁₀ (x) =

Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para escribir cada expresión como un solo logaritmo:

1)  log₁₀ (5) + log₁₀ (3) =

2)  log₃ (x + 2) - log₃ ( x - 1) =

3)  2 log₁₀ (x) + log₁₀ (y) + log₁₀ (3) =

 

Logaritmos comunes y naturales

Los logaritmos comunes son los logaritmos de base 10.  Los logaritmos naturales son los logaritmos de base e.   Si  y = e^x  entonces x = log_e y = ln. Muchas calculadoras tienen la tecla [log] para loslogaritmos comunes y la tecla [ln] para los logaritmos naturales.  

Notación:

  Logaritmo común:  log x = log₁₀ x

 Logaritmo natural:    ln x = log_e x 

Ejemplo para discusión:  Usa la calculadora para hallar:

1) log 2 =

2) ln .0034 =

3) log (-3.24) =

Ejercicio de práctica: Usa la calculadora para hallar:

1) log 3 =

2) ln 28.693 =

3) log(-0.438) =

El logaritmo natural tiene todas las propiedades para los logaritmos con base b.  En particular:

Ejemplos:

Usa las propiedades para expandir:

Simplifica como un solo logaritmo:

    

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

La   ecuación   2^{x - 1} = 7   representa   una   ecuación    exponencial   y   la   ecuación

log(x + 1) - log x = 3  representa una ecuación logarítmica.  Las propiedades de los logaritmos nos ayudan a resolver estas ecuaciones.

Ejemplo para discusión:  Resuelve las siguientes ecuaciones para x:

Ejercicio de práctica:  Resuelve las siguientes ecuaciones:

Gráficas de funciones logarítmicas

Las funciones y = b^x  y  y = log_b x  para b>0  y  b diferente de uno son funciones inversas.  Así que la gráfica de  y = log_b x es una reflexión sobre la recta y = x de la gráfica  de  y = b^x.  La gráfica de y = b^x tiene como asíntota horizontal al eje de x  mientras  que la gráfica de  y = log_b x tiene al eje de y como asíntota vertical.

Ejemplo:

                             

                             y = 2^x                                                           y = log₂ x

     

Las funciones y = 2^x   y y = log₂ x son funciones inversas una de la otra, por tanto, la gráfica de y = log₂ x es una reflexión de la gráfica de y = 2^x sobre la recta y = x.  El dominio de y = 2^x es el conjunto delos números reales y el recorrido es todos los números reales mayores que cero.  El dominio de y = log₂ x es el conjunto de los números reales mayores que cero y el recorrido el conjunto de los númerosreales.

FUNCION EXPONENCIAL

Definición formal

La función exponencial e^x puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias:

o como el límite de la sucesión:

[editar]Propiedades

La función exponencial (y exponenciales en base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales.

• Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)

• 

• 

• 

• 

• su límite en - ∞ es 0, y en + ∞ es + ∞